- Tensor
- Tẹn|sor 〈m. 23〉 gerichtete Größe eines mehrdimensionalen Raumes ● \Tensor erster Stufe 〈Anat.〉 Spannungsmuskel; →a. Vektor [zu lat. tendere, Perf. tensus „(an)spannen“]
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Tẹnsor[zu lateinisch tendere, tensum »spannen«] der, -s/...'soren, Verallgemeinerung des Vektorbegriffs, die systematisch in der multilinearen Algebra behandelt wird. Tensoren treten v. a. in den Anwendungsgebieten der Differenzialgeometrie sowie in der theoretischen Physik auf, z. B. als Spannungstensor in der Elastomechanik und Elektrodynamik, als Trägheitstensor in der theoretischen Mechanik oder als Fundamentaltensor in der Relativitätstheorie. Während der Vektor (Tensor 1. Stufe) als einfachstes Beispiel eines Tensors gelten kann, gelangt man zu Tensoren höherer Stufen bei Betrachtung linearer Vektorfunktionen.Ein Tensor ist eine Abbildung f: V1 ☓.. . ☓ Vr → K von einem r-fachen kartesischen Produkt (Symbol ☓) sämtlich reeller oder komplexer endlich dimensionaler K-Vektorräume in den Körper K der reellen beziehungsweise komplexen Zahlen, die in jedem Argument linear ist. Eine solche Abbildung heißt Multilinearform und wird (mit Bezug auf das r-fache kartesische Produkt der Vektorräume) auch als Tensor r-ter Stufe bezeichnet. Die Menge aller r-stufigen Tensoren auf V1 ☓.. . ☓ Vr bildet mit der punktweise definierten Addition und Skalarmultiplikation einen K-Vektorraum der Dimension n1 ·.. . · nr und ist das Tensorprodukt V1*.. . Vr* der Dualräume Vi* von Vi, wobei ni die Dimension von Vi und der Dualraum V * eines Vektorraumes V der Vektorraum aller Linearformen auf V ist. Z. B. induziert die Determinantenfunktion auf dem K-Vektorraum der n ☓ n-Matrizen eine multilineare Abbildung Kn ☓.. . ☓ Kn → K und kann somit als Tensor n-ter Stufe aufgefasst werden. Tensoren 1. Stufe sind nach Definition genau die Linearformen auf V; die natürliche Bilinearform V ☓ V * → K, (x, g) → g (x) ist ein Tensor 2. Stufe. Tensoren auf einem Produktraum der Gestalt V s ☓ V *t heißen entsprechend ihrem Transformationsverhalten s-stufig kovariant und t-stufig kontravariant, im Fall s = 0 beziehungsweise t = 0 rein kovariant beziehungsweise rein kontravariant, und sonst gemischt (kontravariante Größen). Die Determinantenfunktion ist damit ein n-stufiger kovarianter Tensor und die natürliche Bilinearform ein gemischter Tensor 2. Stufe. Das Abbildungsverhalten eines Tensors f: V1 ☓.. . ☓ Vr → K ist wegen seiner Multilinearität völlig bekannt, sofern bezüglich der Basen {ei1,.. ., } der Länge ni von Vi die Bilder f aller n1 ·.. . · nr aus den Basisvektoren bestehenden r-Tupel aus V1 ☓.. . ☓ Vr bekannt sind, wobei 1 ≦ ki ≦ ni. Diese heißen die Koordinaten des Tensors f bezüglich der Basen {ei1,.. ., }.* * *
Universal-Lexikon. 2012.
